養育費の請求や支払いを拒否する方法はありますか？

ありません。

養育費は、離婚後、収入が落ちても拒否できません。

破産しても逃れることもできません。ただ、金額を下げてもらうことは調停の手続きなどを経ることで可能な場合もあります。